wosinen.7m.pl

Шпаргалки по матану

КЧ — множество упорядоченных пар таких, что первый элемент действительное число, второй элемент действительное число и введены две операции — сложение и умножение. Модуль и аргумент КЧ. Тригонометрическая и экспоненциальная формы КЧ.

Достаточные условия существования экстремума. Основная теорема алгебры Всякая целая рациональная функция f x имеет, по крайней мере, один корень, действительный или комплексный. Если среди корней многочлена встречаются кратные корни, то разложение на множители имеет вид:

Эта последовательность ограничена сверху: Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: Итак, последовательность - монотонно возрастающая и ограниченная сверху, то есть имеет конечный предел.

Монотонная ограниченная последовательность имеет предел. Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично. По формуле бинома Ньютона: Функция f x , определенная в окрестности некоторой точки х 0 , называется непрерывной в точке х 0 , если предел функции и ее значение в этой точке равны, то есть Тот же факт можно записать иначе: Это свойство может быть записано следующим образом: Непрерывность суммы, произведения, частного сложной функции Пусть функции f,g: Целая и дробная рациональные функции.

Точки, при переходе через которые характер выпуклости функции f меняются, называются точками перегиба функции. Пусть x0 точка перегиба функции f. Тогда по теореме о выпуклости функция выпукла вниз вверх в точке x0, что противоречит условию. В противном случае перегиба нет. Основная теорема высшей алгебры. Корни простые и кратные. Функция вида f x называется целой рациональной функцией. Всякая целая рациональная функция f x имеет, по крайней мере, один корень, действительный или комплексный.

Отсюда следует, что любой многочлен n — ой степени имеет ровно n корней действительных или комплексных. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Uman Опубликованный материал нарушает ваши авторские права?

Теорема о единственности предела и о сохранении знака. Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет. По определению предела имеем. Также говорят, что А — конечный предел функции f x. Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности.

Попробуем допустить, что в какой-нибудь точке x0 из X функция f x терпит разрыв, например, слева. Этот разрыв может быть только скачком.

Теорема о сжатой переменной Д-во: Тогда для Справедливы все три утверждения: По определению предела имеем 9. Предел суммы, произведения, частного. Бесконечные пределы и пределы на бесконечности.

Тот же факт можно записать иначе: Если функция f x определена в некоторой окрестности точки х 0 , но не является непрерывной в самой точке х 0 , то она называется разрывной функцией, а точка х 0 — точкой разрыва. Точка разрыва а функции а называется: Непрерывность основных элементарных функций. Если значения монотонно возрастающей убывающей в промежутке X функции f x содержатся в промежутке Y и сплошь заполняют его каждое значение y из Y принимается функцией хоть раз , то эта функция непрерывна в X.

Самая большая нижняя граница множества называется точной нижней границей — инфининумом множества А. Если каждому элементу x принадлежащему X по некоторому правилу f поставлен в соответствие единственный элемент f x принадлежащий Y, то говорят, что на множестве X определена задана функция f , принимающая значения из множества Y, или, что функция f отображает множество X во множество Y.

Этот предел принято обозначать буквой е. Таким образом, число е заключено между числами 2,5 и 3. Если взять большее количество членов ряда, то можно получить более точную оценку значения числа е. Можно показать, что число е иррациональное и его значение равно 2,…. Сравнение предельного поведения функц. Пусть а — предельная точка множества Ч, заданы функции f,g: Функция f x , определенная в окрестности некоторой точки х 0 , называется непрерывной в точке х 0 , если предел функции и ее значение в этой точке равны, то есть.

Теорема Коши, Лагранжа Теорема Коши: Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл. Теорема Л утверждает, что существует точка, в которой касательная параллельна хорде. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Условия монотонности и постоянства функции. Необходимые и достаточные условия.

При делении многочлена f x на разность x — a получается остаток, равный f a. При делении многочлена f x на разность x — a частным будет многочлен f 1 x степени на единицу меньшей, чем f x , а остатком — постоянное число R. Многочлены с вещественными коэффициентами. Всякий многочлен n — ой степени разлагается на n линейных множителей вида x — a и множитель, равный коэффициенту при x n.

Касательная к графику функции. Касательная к графику функции f существует только тогда, когда f дифференцируема в точке x0. Если функция f дифференцируема в точке x0, то f непрерывна в точке x0. По определению дифференцирования суперпозиция g o f дифференцируема в точке x0.

Действия на КЧ в тригонометрической форме. Аргументом числа z называется полярный угол точки изображающей данное комплексное число. Корниn-ой степени из комплексного числа. Точная верхняя и нижняя границы. Если существует верхняя нижняя граница для множества, то все числа, которые больше меньше верхней нижней границы тоже являются верхними нижними границами. Самая маленькая верхняя граница множества называется точной верхней границей — супремумом множества А.

По следствию из теоремы Ферма функция может иметь экстремум только в критических точках. Этот факт называют необходимым условием экстремума. Геометрически выпуклость вверх вниз означает, что в некоторой проколотой окрестности x0 график лежит выше ниже касательной к графику в точке x0.

Если два многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого.

Теорема о промежуточном значении непрерывной функции. Вторая теорема Больцано — Коши: Дифференцируемость суперпозиции функций и обратной функции.

В этом случае существует предел f x , но он меньше значения f x0. Это противоречит условию теоремы. Значит, на деле функция f x разрывов не имеет. Теорема об обращении непрерывной функции в ноль. К промежутку [a1,b1] применим описанный процесс деления пополам.

Соседние файлы в папке Архив шпаргалок Множество ограниченное сверху и снизу — ограниченное. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет Теорема о единственности предела: Предельный переход в равенстве и неравенстве. Предельный переход в неравенстве. Предельный переход в равенстве.